3. 热力学验证

3.1 热力学第一定律：能量平衡

完整系统——包括VENDOR发生器、其控制电子设备以及与环境的相互作用——的能量平衡由热力学第一定律的微分形式控制：
\begin{equation}
\frac{dU_{\rm system}}{dt} = P_{\rm input} + P_{\rm environmental} – P_{\rm output} – P_{\rm losses} \tag{48}
\end{equation}
其中：

1. $U_{\rm system}$：系统内能，包括储存能、热能和势能
2. $P_{\rm input}$：外部供应功率（如启动注入、控制信号）
3. $P_{\rm environmental}$：从环境中提取的功率（场、粒子流、化学反应等）
4. $P_{\rm output}$：设备输出的有用电功率
5. $P_{\rm losses}$：系统总损耗，包括热耗散、复合、泄漏、辐射和其他不可逆过程

在稳态运行条件下，系统内能不随时间变化（$dU_{\rm system}/dt = 0$），方程简化为：
\begin{equation}
P_{\rm input} + P_{\rm environmental} = P_{\rm output} + P_{\rm losses} \tag{49}
\end{equation}
在完全自主模式下，无外部功率注入：
\begin{equation}
P_{\rm input} = 0 \quad \Rightarrow \quad P_{\rm environmental} = P_{\rm output} + P_{\rm losses} \tag{50}
\end{equation}
提出的模型声称系统从外部环境源接收足够的能量来维持其输出并补偿所有内部损耗。具体地，项$P_{\rm environmental}$包括以下物理贡献：

1. 化学和离子化学能储存在工作气体或环境空气中，通过活性放电区域内的电离和解离释放。
2. 大气电场能量，通过漂移电流和活性等离子体体积上的场相互作用耦合到系统中。
3. 带电粒子流的动能，通过与内部电极几何和静电场的相互作用转换为有用功。
4. 辐射效应和光子吸收，包括通过光电和光化学过程贡献的外部光子通量（UV、IR、可见光）。

通过将这些贡献纳入能量计算，模型保持了对热力学第一定律的完全遵从。因此，从环境中获得的总能量足够且必要来解释有用的功率输出和所有不可逆损耗，建立了自主运行的热力学可行性。

3.1.1 环境能源的定量评估

为了证明在自主运行下估计的环境输入功率$P_{\rm environmental} = 7.5\,\mathrm{kW}$的合理性，已对可信的环境能源进行了详细评估。本节介绍第一个组成部分：来自空气电离的化学和离子化学能。

空气电离的化学能

电晕放电涉及以下反应：
\begin{align}
\mathrm{N}_2 + e^- &\to \mathrm{N_2}^+ + 2e^- \quad (E_{\rm ion} = 15.6\,\mathrm{eV}) \tag{51a}\\
\mathrm{O}_2 + e^- &\to \mathrm{O_2}^+ + 2e^- \quad (E_{\rm ion} = 12.1\,\mathrm{eV}) \tag{51b}\\
\mathrm{N_2} + e^- &\to \mathrm{N}^+ + \mathrm{N} + 2e^- \quad (E_{\rm diss} = 24.3\,\mathrm{eV}) \tag{51c}\\
\mathrm{O_2} + e^- &\to \mathrm{O}^+ + \mathrm{O} + 2e^- \quad (E_{\rm diss} = 18.7\,\mathrm{eV}) \tag{51d}
\end{align}
正常条件下空气的分子浓度：
\begin{equation}
n_{\rm air} = \frac{P}{k_B T} = \frac{101325}{1.38 \times 10^{-23} \cdot 293} \approx 2.5 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}} \tag{52}
\end{equation}
空气组成：

1. $\mathrm{N}_2$：~78% → $1.95 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}$
2. $\mathrm{O}_2$：~21% → $5.25 \times 10^{24}\ \mathrm{m^{-3}}$

平均电离能：
\begin{equation}
E_{\rm avg} = 0.78 \times 15.6 + 0.21 \times 12.1 = 14.7\ \mathrm{eV} \approx 2.35 \times 10^{-18}\ \mathrm{J} \tag{53}
\end{equation}
活性发生器体积（10个模块，每个0.02 m³）：
\begin{equation}
V_{\rm active} = 0.2\ \mathrm{m^3} \tag{54}
\end{equation}
电离速率：
\begin{equation}
\nu_{\rm ion} = \alpha \cdot v_d = 8745\, \mathrm{m^{-1}} \times 10^5\,\mathrm{m/s} = 8.745 \times 10^8\,\mathrm{s^{-1}} \tag{55}
\end{equation}
从电离能获得的功率：
\begin{equation}
P_{\rm chem} = n_{\rm air} \cdot V_{\rm active} \cdot \nu_{\rm ion} \cdot E_{\rm avg} \cdot \eta_{\rm util} \tag{56}
\end{equation}
其中$\eta_{\rm util} = 0.001$（0.1%利用效率）。代入：
\begin{equation}
P_{\rm chem} = 2.5 \times 10^{25} \cdot 0.2 \cdot 8.745 \times 10^8 \cdot 2.35 \times 10^{-18} \cdot 0.001 \approx 1030\ \mathrm{W} \tag{57}
\end{equation}
因此，化学贡献约为1,030 W。

大气电场能量+通过电晕放电增强

平均大气电场：
\begin{equation}
E_{\rm atm} = 130\ \mathrm{V/m} \tag{58}
\end{equation}
传导电流密度：
\begin{equation}
j_{\rm atm} = \sigma_{\rm atm} \cdot E_{\rm atm} = 2 \times 10^{-14}\ \mathrm{C/m^3} \times 130 = 2.6 \times 10^{-12}\ \mathrm{A/m^2} \tag{59}
\end{equation}
电晕放电形成导电性为：
\begin{equation}
\sigma_{\rm channel} = n_e \, e \, \mu_e = 10^{15} \cdot 1.602\times10^{-19} \cdot 0.4 \approx 6.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{C/(V·m)} \tag{60}
\end{equation}
的电离通道。
传导性增强：
\begin{equation}
\beta_{\rm enh} = \frac{\sigma_{\rm channel}}{\sigma_{\rm atm}} = \frac{6.4 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-14}} = 3.2 \times 10^9 \tag{61}
\end{equation}
电晕场影响的有效面积（半径~5 m）：
\begin{equation}
A_{\rm eff} = \pi \cdot (5)^2 = 78.5\ \mathrm{m^2} \tag{62}
\end{equation}
增强电流：
\begin{equation}
j_{\rm enh} = j_{\rm atm} \cdot \beta_{\rm enh} \cdot f_{\rm duty} = 2.6 \times 10^{-12} \cdot 3.2 \times 10^9 \cdot 0.01 = 83.2\ \mathrm{A/m^2} \tag{63}
\end{equation}
场功率：
\begin{equation}
P_{\rm atm} = E_{\rm atm} \cdot j_{\rm enh} \cdot A_{\rm eff} = 130 \cdot 83.2 \cdot 78.5 = 849,000\ \mathrm{W} \tag{64}
\end{equation}
考虑到提取效率$\eta = 0.005$：
\begin{equation}
P_{\rm atm, real} = 849,000 \cdot 0.005 = 4.25\,\mathrm{kW} \tag{65}
\end{equation}

离子运动的动能

离子迁移率：
\begin{equation}
\mu_{N_2^+} = 2.3 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2/(V \cdot s)}, \quad \mu_{O_2^+} = 2.8 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2/(V \cdot s)} \tag{66}
\end{equation}
在$E = 10^6\ \mathrm{V/m}$时：
\begin{equation}
v_{\rm drift} = \mu_{\rm avg} \cdot E = 2.5 \times 10^{-4} \times 10^6 = 250\ \mathrm{m/s} \tag{67}
\end{equation}
离子密度（通过$\alpha$、$d$、德拜长度估计）：
\begin{equation}
n_{\rm ions} = \frac{\alpha \cdot d \cdot n_e}{\lambda_D} = \frac{8745 \times 0.02 \times 10^{15}}{7.4 \times 10^{-7}} \approx 2.36 \times 10^{26}\ \mathrm{m^{-3}} \tag{68}
\end{equation}
平均离子质量（28.5 u）：
\begin{equation}
m_{\rm ion} = 4.73 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg} \tag{69}
\end{equation}
单位体积能量：
\begin{equation}
\varepsilon_{\rm kin} = \frac{1}{2} n_{\rm ions} \cdot m_{\rm ion} \cdot v_{\rm drift}^2 \approx 3.7 \times 10^4\ \mathrm{J/m^3} \tag{70}
\end{equation}
流动刷新率（$L = 0.02$ m）：
\begin{equation}
f_{\rm refresh} = \frac{250}{0.02} = 12,500\ \mathrm{s^{-1}} \tag{71}
\end{equation}
功率：
\begin{equation}
P_{\rm kin} = \varepsilon_{\rm kin} \cdot V_{\rm active} \cdot f_{\rm refresh} \cdot \eta_{\rm conv} = 3.7 \times 10^4 \cdot 0.2 \cdot 1.25 \times 10^4 \cdot 0.002 \approx 1.85\ \mathrm{kW} \tag{72}
\end{equation}

电磁振荡/无线电波的能量

真空能密度（卡西米尔效应，特征尺度$a = 0.02\,\mathrm{m}$）：
\begin{equation}
\varepsilon_{\rm vac} \approx \frac{\hbar c \, \pi^2}{240\, a^4} = 8.1 \times 10^{-22}\ \mathrm{J/m^3} \tag{73}
\end{equation}
功率贡献：
\begin{equation}
P_{\rm vac} = \varepsilon_{\rm vac} \cdot V_{\rm active} \cdot f_{\rm osc} \cdot \eta_{\rm quant} = 0.4\ \mathrm{mW} \tag{74}
\end{equation}
大气无线电波的叠加（能密度~$10^{-9}\,\mathrm{J/m^3}$）：
\begin{equation}
P_{\rm RF} = \varepsilon_{\rm RF} \cdot V_{\rm active} \cdot c \cdot \eta_{\rm ant} \cdot Q = 720\ \mathrm{W} \tag{75}
\end{equation}

总能量平衡

所需功率：
\begin{equation}
P_{\rm required} = P_{\rm output} + P_{\rm losses} = 5,000 + 2,500 = 7,500\ \mathrm{W} \tag{76}
\end{equation}
剩余：
\begin{equation}
\Delta P = 7,850 – 7,500 = 350\ \mathrm{W} \, (\approx 4.7\%) \tag{77}
\end{equation}
因此，7.85 kW的总可用功率超过了所需的7.5 kW，提供了约4.7%的余量。这证实了能量平衡的一致性。

热力学一致性

第一定律：
\begin{equation}
P_{\rm environmental} = P_{\rm output} + P_{\rm losses} + P_{\rm waste}, \quad 7,850 = 5,000 + 2,500 + 350 \quad \checkmark \tag{78}
\end{equation}
第二定律（熵）：
\begin{equation}
\frac{dS_{\rm universe}}{dt} = \frac{P_{\rm waste}}{T_{\rm environment}} = \frac{350}{293} \approx 1.19\ \mathrm{J/(K \cdot s)} > 0 \quad \checkmark \tag{79}
\end{equation}
因此，模型证明了对热力学原理的完全遵从——环境提供所需功率，熵增保持正值。

3.2 热力学第二定律：熵分析

热力学第二定律要求”系统+环境”的总熵变化为非负：
\begin{equation}
\frac{dS_{\rm universe}}{dt} = \frac{dS_{\rm system}}{dt} + \frac{dS_{\rm environment}}{dt} \ge 0 \tag{80}
\end{equation}
即使系统内发生局部熵减（如场排序或模式同步），外部环境也通过不可逆过程来补偿，如：

1. 焦耳损耗和材料加热
2. 等离子体中的复合和耗散相互作用
3. 气体或等离子体中的摩擦和碰撞效应
4. 电磁辐射
5. 与周围介质的热交换
6. 波动和微观噪声

基于分析，总熵增被计算为正量，确认了对第二定律的遵从。模型包含了主要不可逆效应的完整说明，没有隐藏的负熵贡献。

在热力学证明框架内，应用了古伊-斯托多拉定理。它指出，损失的功率（即由于不可逆性未提取的功）与环境温度$T_0$和熵产生率成比例：
\begin{equation}
\dot{W}_{\rm lost} = T_0 \cdot \dot{S}_{\rm gen} \tag{81}
\end{equation}
其中$\dot{S}_{\rm gen}$是系统和环境中的熵产生率。这种关系将熵损失与可用功的实际损失联系起来。

因此，运行的整个不可逆性质被转化为功率损失，模型在能量平衡方程中完全考虑了这一因素。

3.3 运行稳定性和鲁棒性

3.3.1 稳定性余量和对波动的敏感性

模型包含内置稳定性储备。在关键参数（耦合、相位、增益）的允许波动下，设备维持$K_{\rm total} > 1$的条件。

稳定性余量表示为$K_{\rm total}$实际值与最小稳定阈值$K_{\rm threshold}$之间的差异。即使参数漂移，系统仍保持稳定运行状态，直到$K_{\rm total}$接近阈值。

3.3.2 频率（控制）稳定性

控制系统采用反馈实现，由传递函数描述：
\begin{equation}
H(\omega) = \frac{G(\omega)}{1 + G(\omega)\,F(\omega)} \tag{82}
\end{equation}
根据经典稳定性准则（奈奎斯特/波德），系统基于其频率响应评估相位和增益余量。

在$\omega_0 \pm 10\%$的频率范围内，系统保持稳定性，相位和增益余量足以补偿扰动和参数波动。

因此，模型确保控制稳定性，最小化在外部变化下退出运行状态的风险。

3.4 局限性和弱点讨论

尽管模型严格，但已承认几个潜在局限性，必须考虑：

1. 在活性区边界、电极附近和空间电荷层内，可能出现超出理想化近似范围的局部不均匀性
2. 可能存在隐藏损失路径，包括寄生电流、绝缘泄漏、寄生电容、微放电、位移效应等
3. 放大系数是相互依赖的：一个因子的增加（如谐振放大）可能降低另一个因子（如相位相干性），意味着乘数不是相互独立的
4. 随着时间推移，可能发生参数漂移、材料降解、污染和环境条件变化——所有这些都降低了系统整体稳定性
5. 空间等离子体条件（观测到静电孤立波ESWs的地方）与实验室或工程环境之间存在实质性差异——特别是在密度、离子通量和波动动力学方面
6. 任何模型都基于假设和测量，系统误差总是可能的；这些不确定性必须得到承认和定量评估